Il reverendo Thomas Bayes (1702 – 1761)

“L’animo umano ha 3 chiavi: la cifra, la lettera e la nota. Sapere, pensare, sognare”

Victor Hugo

La nostra vita non è quasi mai rischiarata dal sole abbagliante delle certezze, ma ci muoviamo costantemente nelle nebbie delle probabilità. Il calcolo delle probabilità è uno strumento essenziale per soppesare i rischi delle nostre stesse azioni. In fondo è quello che fa costantemente il nostro cervello: calcola euristicamente le probabilità che, eseguendo una determinata azione, ne riceviamo un qualche vantaggio. Tutti noi siamo, in un modo più o meno consapevole, influenzati dai numeri; tendiamo a dare più credibilità a ciò che è numericamente espresso. E se i numeri c’ingannassero? Se, improvvisamente, diventassero controintuitivi? Abbiamo uno strumento per vagliare se i numeri sono sinceri o stanno mentendo?
Per esempio: il divo Zeus, a seguito delle sue continue e promiscue frequentazioni con tutte le ninfe  dell’Olimpo, decide di sottoporsi al test dell’HIV. Sull’Olimpo, la prevalenza di AIDS è di 1:10.000, il test ha una sensibilità (probabilità che il test sia positivo negli affetti) del 99,99% ed una specificità (probabilità che il test sia negativo nei sani) del 99,99%. Il divino Zeus ritira il referto e legge il risultato: “POSITIVO”. Qual è la probabilità che il Padre degli Dei sia affetto da Immunodeficienza Acquisita e stia bestemmiando tutto l’Ade? Sono certo che starete rispondendo: «Che domanda del cavolo! Se la sensibilità è del 99,99% sicuramente il vecchio mandrillone si è beccato l’AIDS da qualche Olgettina (ebbene sì, sull’Olimpo oltre a oreadi e driadi, nereidi e naiadi ci sono le olgettine, le ninfe dei bunga bunga)!». Peccato che la risposta sia…sbagliata! Infatti, in questo risposta dettata dall’intuito ci almeno quattro errori logici. Il primo: sicuramente vi siete focalizzati sulla sensibilità ed avete ritenuto che 99,99% sia un valore sufficientemente “confidenziale” da darvi la “certezza” che Zeus sia sieropositivo; il secondo: avete ignorato che una specificità del 99,99% nasconda il fatto che 1:10.000 sia un falso positivo; il terzo: avete ignorato che l’AIDS sia una malattia rara (“Quando senti rumore di zoccoli, pensa prima ad un cavallo e poi ad una zebra – Guglielmo da Ockham”); il quarto (il più insidioso): conoscete la probabilità che il test sia positivo in un soggetto affetto (la sensibilità) e l’avete trasposta facendola diventare la probabilità che un soggetto sia affetto dato un test positivo (errore del trasposto). «Dottore», piagnucola Zeus, «ma allora l’AIDS ce l’ho o no»? Per dare la risposta corretta dobbiamo utilizzare l’unico strumento che abbiamo a disposizione: il teorema di Bayes!
Il reverendo Thomas Bayes dimostrò che la probabilità di avere la malattia dato il test positivo (probabilità a posteriori) è uguale alla probabilità che il test sia positivo data la malattia moltiplicata per la probabilità della malattia e divisa per la sommatoria di tutti gli eventi che possono dare un test positivo. L’enunciato viene semplificato e riarrangiato con i soliti giochetti di aritmetica spicciola, in cui non ci addentriamo, ma utilizzando un banalissimo foglio di calcolo:

Quindi la probabilità che Zeus sia sieropositivo è “solo” del 50%. «Ma allora questo test non serve a niente!», starete pensando. A ben guardare, la probabilità di essere affetti è aumentata di 5.000 volte mentre la probabilità di essere ancora sani si è solo dimezzata; se poi consideriamo che la prevalenza reale dell’AIDS è 3:1.000 (fate voi i conti)….
Passando ad un argomento un po’ più serio, il cancro prostatico è il tumore solido più comunemente diagnosticato nella popolazione maschile residente in Italia. La sua prevalenza varia con l’età, ma tra i 60 e i 75 anni ha una prevalenza pari a 2,63%. Alzi la mano chi non ha mai sentito la frase «Ma come? Hai più di 50 anni e non hai mai fatto il PSA?!» Il dosaggio del PSA (Prostate Specific Antigen) ha una sensibilità molto bassa, del 20,5%, ed una specificità del 93,8%. Se rifate i conti come vi ho mostrato, vi accorgerete che la probabilità di avere un carcinoma prostatico se il vostro PSA>4 mg/L è solo 8%.
Morale della favola, quando vi trovate un test positivo, prima di considerare finita la vostra vita, fatevi dare l’estrema unzione dal reverendo Bayes.

P.S.
Per chi volesse approfondire la faccenda, vi lascio questo articolo che ho pubblicato su Biochimica Clinica

Tag:Aids, probabilità, rasoio di Ockham, statistica, Teorema di Bayes